Представим себе, что в космосе в гиперпространстве требуется отремонтировать антенну в виде гиперкуба, с ребром a, состоящую элементарных кубов 1n в общем количестве an. Благодаря своей уникальной геометрии эта антенна, простирающаяся на несколько километров, может передавать принимать сигналы в гиперполе. Командир корабля подозревает неполадки в вершине гиперкуба, как раз по направлению к Альфа Центавра, и даёт нам задание исследовать ситуацию детальнее на месте.
Попробуем вместе предпринять путешествие к вершине гиперкуба в n-мерном пространстве на реактивном ранце. Движение начинается из центра гиперкуба, где расположен корабль. Из-за технических ограничений двигаться можно только под прямыми углами. Цель состоит а ремонте поломанной вершины гиперкуба. Как скоро мы достигнем вершины гиперкуба?
Стартуя из центра гиперкуба, находящемся как раз в начале координат, мы сначала достигнем любой грани, на которой расположена поломанная вершина. При этом первый «прыжок» нашего маршрута приведёт нас прямо в центр грани. Здесь мы обнаружим, что оказались в центре гиперкуба размерности n — 1. Далее мы выберем направление для следующего пряжка к желаемой грани этого гиперкуба и будем продолжать свой затяжной прыжок до тех пор, пока не достигнем одномерного ребра, и наконец, самой дефектной вершины. Всего таких прыжков будет n.
С позиции командира корабля, наблюдающего за нашими перемещениями из из центра антенны в виде гиперкуба, каждый следующий наш прыжок, кроме первого, совершается в гиперплоскости, и каждый раз в направлении ортогональном всем предыдущим прыжкам. Такое положение дел совершенно естественно для n-мерного наблюдателя.
Предположим для наглядности, что исходная размерность пространства была равна 4. Гиперкуб размерности 4 — это тессера́кт. Гипотетическое многомерное существо на первом своем прыжке достигнет центра трёхмерной грани или куба, далее — совершит прыжок на центр двумерной грани или квадрата, далее — на одномерное ребро и наконец — к вершине. Всего n прыжков для общего n- мерного случая.
Интернет изобилует рисунками и видео клипами с изображением многомерных гиперкубов, их проекциями на двумерную плоскость, расположенную перед глазами обычного человека — существа трехмерного пространства. Благодаря эффекту параллакса можно увидеть достаточно любопытные структуры. Но одного любопытства недостаточно - требуется аналитическое мышление, которое поможет ощутить красоту гиперкуба, и как косвенный результат - «увидеть» наглядное решение Великой Теоремы Ферма. - Попробуем?
Вот небольшой тест для сампроверки: каковая общая длина пути нашего путешествия из начала координат к вершине? Ребро гиперкуба равно а киломотров. Для поиска ответа на вопрос, вспомним, что каждый шаг перпендукулярен другим, всего шагов n и примирим Теорему Пифагара. И мы получим . . . . ½ a√n
К доказательству Великой Теоремы Ферма через гиперкубы
Гиперкуб обладает свойством симметрии. Если расположить начало координат в центре гиперкуба, то каждая его вершина будет находится на расстоянии ½ a√n, что легко вычисляется по теореме Пифагора. Перпендикуляр, опущенный из центра гиперкуба на любую его грань, проходит через её центр и длина образуемого отрезка (высоты любой из совершенно одинаковых из 2n гиперпирамид, на которые рассекается гиперкуб) составляет ½а. Легко убедиться, что грань гиперкуба – это гиперкуб размерности на единицу меньше, также имеющий грани-ребра размерности n-2, n-3 …вплоть до одномерных ребер и нольмерных вершин (для случая пространства целых чисел роль вершин принимают на себя единичные кубы или гиперкубики 1n ). Грань гиперкуба располагается в гиперплоскости, перпендикулярной только что построенной высоте и проходящей через основание этой высоты – точку пересечения прямой, исходящей из начала координат ортогонально грани гиперкуба с этой гранью. Образно говоря, с позиции гипотетического n- мерного существа, все грани гиперкуба воспринимаются не как объемные, а как плоские фигуры.
Почти четыре столетия мир бился над решением Теоремы Ферма. Есть доказательство в 140 страниц Эндрю Уайлса для специалистов в теории чисел, но его невозможно пересказать. Попробуем рассмотреть теорему Ферма с позиции физики и геометрии. Именно с этих позиций позиций Пьер де Ферма смог найти решение, основные идеи которого схематично уместились бы на достаточно широких полях книги, в нескольких рисунках. Скептики продолжают считать, что Пьер де Ферма, вероятнее всего, заблуждался. Между тем, последовательное применение основных принципов физики, геометрии, мысленного эксперимента заставляют думать иначе. История открытия теоремы Ферма должна стать частью школьной / вузовской подготовки. В самом деле, суть доказательства укладывается в одной формуле и одном рисунке.
Союз "Сибирский Центр медиации"